Décimale

[Pierre Hallet]

Bonsoir,

Une énigmette pas de moi mais trouvée dans un numéro
récent d'une revue, et dont l'énoncé m'a tant ébloui que
je ne résiste pas à l'envie de vous en faire profiter...

Tout le monde (euh...) connaît la racine carrée de deux,
le plus ancien irrationnel connu, valant environ 1,414213...
avec une infinité de décimales sans périodicité. Je le note
ici V2 pour la commodité.

Soit le nombre 1 + V2 (donc 2,414213...), et élevons-le à la
puissance 1000 (oui, mille) : (1 + V2)^1000. Le résultat est
un nombre énorme avec plusieurs centaines de chiffres
devant la virgule et une infinité de chiffres derrière.

Et justement : quel est le 200e chiffre après la virgule ?

SANS MACHINE ! JUSTE PAPIER ET CRAYON, ET ENCORE !
RÉPONSE EN 2 MINUTES EN CAS DE BONNE INSPIRATION !

La solution, et c'est ce qui est si fascinant, tient en un
bref raisonnement de quelques lignes, accessible à tous
ceux qui ont gardé un souvenir même vague des cours
de maths du lycée.

Pierre Hallet

[Benoit]

Post by Pierre Hallet
Bonsoir,
Une énigmette pas de moi mais trouvée dans un numéro
récent d'une revue, et dont l'énoncé m'a tant ébloui que
je ne résiste pas à l'envie de vous en faire profiter...
Tout le monde (euh...) connaît la racine carrée de deux,
le plus ancien irrationnel connu, valant environ 1,414213...
avec une infinité de décimales sans périodicité. Je le note
ici V2 pour la commodité.
Soit le nombre 1 + V2 (donc 2,414213...), et élevons-le à la
puissance 1000 (oui, mille) : (1 + V2)^1000. Le résultat est
un nombre énorme avec plusieurs centaines de chiffres
devant la virgule et une infinité de chiffres derrière.
Et justement : quel est le 200e chiffre après la virgule ?
SANS MACHINE ! JUSTE PAPIER ET CRAYON, ET ENCORE !
RÉPONSE EN 2 MINUTES EN CAS DE BONNE INSPIRATION !
La solution, et c'est ce qui est si fascinant, tient en un
bref raisonnement de quelques lignes, accessible à tous
ceux qui ont gardé un souvenir même vague des cours
de maths du lycée.

Je suis sûr à 99,99999999% d'avoir la solution, mais je tourne autour du
raisonnement (sans papier et sans crayon) :-/

[Pierre Hallet]

Post by Benoit
Je suis sûr à 99,99999999% d'avoir la solution,
mais je tourne autour du raisonnement (sans
papier et sans crayon) :-/

Ça paraît bien parti ! Validation : en notant N le
chiffre que vous avez obtenu, quel serait le chiffre
(exemples : N+2 ou 8-N) si la question avait été
à propos de (1+V2)^999 au lieu de (1+V2)^1000 ?

Pierre Hallet

[Benoit]

Post by Pierre Hallet

Post by Benoit
Je suis sûr à 99,99999999% d'avoir la solution,
mais je tourne autour du raisonnement (sans
papier et sans crayon) :-/

Ça paraît bien parti ! Validation : en notant N le
chiffre que vous avez obtenu, quel serait le chiffre
(exemples : N+2 ou 8-N) si la question avait été
à propos de (1+V2)^999 au lieu de (1+V2)^1000 ?

Tout était là : les nombres pairs, on ignore, le nombre de nombres
impairs étant pairs on revient, avec un peu de temps, sur un 0.

[Pierre Hallet]

Post by Benoit
Tout était là : les nombres pairs, on ignore, le
nombre de nombres impairs étant pairs on
revient, avec un peu de temps, sur un 0.

Euh... un tantinet cryptique, là, non ?

Pierre Hallet

[Benoit]

Post by Pierre Hallet

Post by Benoit
Tout était là : les nombres pairs, on ignore, le
nombre de nombres impairs étant pairs on
revient, avec un peu de temps, sur un 0.

Euh... un tantinet cryptique, là, non ?

√2^(2N) est dans N (donc des entiers donc 0)
√2^(2N+1) est dans R, mais comme il y en a un nombre pair...

[Olivier Miakinen]

Post by Pierre Hallet
Soit le nombre 1 + V2 (donc 2,414213...), et élevons-le à la
puissance 1000 (oui, mille) : (1 + V2)^1000. Le résultat est
un nombre énorme avec plusieurs centaines de chiffres
devant la virgule et une infinité de chiffres derrière.
Et justement : quel est le 200e chiffre après la virgule ?
SANS MACHINE ! JUSTE PAPIER ET CRAYON, ET ENCORE !
RÉPONSE EN 2 MINUTES EN CAS DE BONNE INSPIRATION !

Je pense avoir la solution. Ne lisez pas la suite si vous ne
voulez pas être « divulgâchés ».

Rappelons, pour ceux qui l'ont vue au lycée, la formule du binôme
de Newton : (a + b)^n = est la somme pour k entier allant de 0 à n
du produit de a^(n-k) par b^k par C(n,k), où C(n,k) est le nombre
de combinaisons de k éléments pris parmi n.

Pour (1 + V2)^1000, ça commence et ça finit comme ça :
1^1000 + 1000 × 1^999 × V2 + 499500 × 1^998 × V2^2 +
... + 499500 × 1^2 × V2^998 + 1000 × 1 × V2^999 + V2^1000

Si on regarde (-1 + V2)^1000, ça y ressemble mais avec des
signes moins une fois sur deux :
1^1000 - 1000 × 1^999 × V2 + 499500 × 1^998 × V2^2 -
... + 499500 × 1^2 × V2^998 - 1000 × 1 × V2^999 + V2^1000

Additionnons (1 + V2)^1000 et (1 - V2)^1000. Lorsqu'un terme précédé
de + rencontre un terme précédé de - ils s'annulent. Les seuls termes
qui ne s'annulent pas sont ceux où V2 est élevé à une puissance paire,
ce qui en fait un nombre entier.

En conclusion, (1 + V2)^1000 + (-1 + V2)^1000 est un nombre entier.

Or (-1 + V2) ~ 0,414213 est un nombre inférieur à 1/2. Sa 1000e
puissance est donc inférieure à l'inverse de 2^1000. Or on sait que
2^10 = 1024 > 1000, donc 2^1000 > 1000^100 = 10^300. Son inverse
est plus petit que 1/10^300, nombre qui commence par au moins 300
zéros après la virgule.

Finalement, (1 + V2)^1000 est tout près d'être un nombre entier,
la différence étant plus petite que 1/10^300. Ce qui fait que les
300 premiers chiffres après la virgule (au moins) sont des 9.
Le 200e ne fait pas exception.

Note : on peut aussi exprimer (1 + V2)^n et (1 - V2)^n par une
formule de récurrence.
(1 + V2)^2 = 3 + 2V2
(1 - V2)^2 = 3 - 2V2
(1 + V2)^3 = 7 + 5V2
(1 - V2)^3 = 7 - 5V2
(1 + V2)^4 = 17 + 12V2
(1 - V2)^4 = 17 - 12V2
(1 ± V2)^n = a_n ± b_n.V2
avec :
a_0 = 1, b_0 = 0,
quel que soit n ≥ 0, a_{n+1} = a_n + 2.b_n, b_{n+1} = a_n + b_n

Bien évidemment, (1 + V2)^1000 + (1 - V2)^1000 = 2.a_1000 qui est entier

[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen
Je pense avoir la solution. Ne lisez pas la suite si vous ne
voulez pas être « divulgâchés ».

Idem. Ne lisez pas la suite si vous voulez encore chercher, je vais
maintenant répondre à la question de Pierre à Benoît, concernant
l'exposant impair 999 au lieu de l'exposant pair 1000.

Post by Olivier Miakinen
[...]
Note : on peut aussi exprimer (1 + V2)^n et (1 - V2)^n par une
formule de récurrence.
(1 + V2)^2 = 3 + 2V2
(1 - V2)^2 = 3 - 2V2
(1 + V2)^3 = 7 + 5V2
(1 - V2)^3 = 7 - 5V2
(1 + V2)^4 = 17 + 12V2
(1 - V2)^4 = 17 - 12V2
(1 ± V2)^n = a_n ± b_n.V2
a_0 = 1, b_0 = 0,
quel que soit n ≥ 0, a_{n+1} = a_n + 2.b_n, b_{n+1} = a_n + b_n
Bien évidemment, (1 + V2)^1000 + (1 - V2)^1000 = 2.a_1000 qui est entier

Quel que soit l'exposant n, (1 + V2)^n + (1 - V2)^n = 2.a_n qui est
toujours un nombre entier. Seulement, (1 - V2)^n est négatif si n est
impair. Du coup, (1 + V2)^999 est non pas juste inférieur à un nombre
entier, mais juste supérieur à un nombre entier. Son 200e chiffre
est alors 0.

[Pierre Hallet]

Post by Olivier Miakinen
Je pense avoir la solution. Ne lisez pas la suite si vous
ne voulez pas être « divulgâchés ».
[...]

Bravo à Olivier, c'est exactement ça.

L'énigme a été publiée dans "Pour la Science" de février
2017 : elle avait été proposée en 1999 et faisait partie
d'une série de 8 questions à réponses "inattendues".

Pierre Hallet

[joye]

Post by Pierre Hallet

Post by Olivier Miakinen
Je pense avoir la solution. Ne lisez pas la suite si vous
ne voulez pas être « divulgâchés ».
[...]

Bravo à Olivier, c'est exactement ça.

Impressionnant, et intéressant aussi.

Bravo à tous les deux (et merci à Olivier pour l'explication claire et
précise).

[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen
Note : on peut aussi exprimer (1 + V2)^n et (1 - V2)^n par une
formule de récurrence.
(1 + V2)^2 = 3 + 2V2
(1 - V2)^2 = 3 - 2V2
(1 + V2)^3 = 7 + 5V2
(1 - V2)^3 = 7 - 5V2
(1 + V2)^4 = 17 + 12V2
(1 - V2)^4 = 17 - 12V2
(1 ± V2)^n = a_n ± b_n.V2
a_0 = 1, b_0 = 0,
quel que soit n ≥ 0, a_{n+1} = a_n + 2.b_n, b_{n+1} = a_n + b_n

Pour le plaisir de jouer avec les caractères Unicode, cette
relation de récurrence s'écrit sous forme matricielle :

⎛a_{n+1}⎞ ⎛1 2⎞ ⎛a_n⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟
⎝b_{n+1}⎠ ⎝1 1⎠ ⎝b_n⎠

D'où pour tout n :

⎛a_n⎞ ⎛1 2⎞n ⎛a_0⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟
⎝b_n⎠ ⎝1 1⎠ ⎝b_0⎠

Si on a accès à un programme de calculs de matrices (ce qui bien sûr
était interdit par l'énoncé de Pierre), on peut en déduire :

a_1000 =
29830143474442298001129795174793040151744428847802742169166276817001\
66468112178212091535180342845374811855192511677980576748952789096884\
96453061473490892633598303125892207418158941098648444744188077500020\
82487853475867434347137762094092099359890863256272576723592614162865\
35104482559577918436887904353294732130643368553298229701541167968324\
2382695050673704586852323753879398408655937

b_1000 =
21093096734545788527500836634727099588489384390319004814017810623293\
21181578920991128379833684054122781082736224796146207634023673174262\
87640871683067581280666437386162688579759824381810876656159156262824\
32004505944399554607844270641892800758687636009968274277222295140088\
56805413181553518015618312836360990985942173547487763595933389358353\
7947135921530940258496573995974651586025272

Du coup, (1 + √2)^1000 est juste en dessous de 2.a_1000 =
59660286948884596002259590349586080303488857695605484338332553634003\
32936224356424183070360685690749623710385023355961153497905578193769\
92906122946981785267196606251784414836317882197296889488376155000041\
64975706951734868694275524188184198719781726512545153447185228325730\
70208965119155836873775808706589464261286737106596459403082335936648\
4765390101347409173704647507758796817311874

Et il ressemble à :
59660286948884596002259590349586080303488857695605484338332553634003\
32936224356424183070360685690749623710385023355961153497905578193769\
92906122946981785267196606251784414836317882197296889488376155000041\
64975706951734868694275524188184198719781726512545153447185228325730\
70208965119155836873775808706589464261286737106596459403082335936648\
4765390101347409173704647507758796817311873,999999999999999999999999\
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999...

[Pierre Hallet]

Post by Olivier Miakinen
5966028694888459600225959034958608030348885769560548433833255363
4003329362243564241830703606856907496237103850233559611534979055
7819376992906122946981785267196606251784414836317882197296889488
3761550000416497570695173486869427552418818419871978172651254515
3447185228325730702089651191558368737758087065894642612867371065
964594030823359366484765390101347409173704647507758796817311873,
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999...

Merci Olivier ; -)

Comme il y a quelques amateurs de maths ici, voici un autre des
"petits problèmes inattendus" : 2 puissance 29 est un nombre à
neuf chiffres tous différents. Quel est le dixième chiffre, celui
qui manque ? sans faire le calcul, rien que par le raisonnement ?

Pierre Hallet

[Olivier Miakinen]

Post by Pierre Hallet
Comme il y a quelques amateurs de maths ici, voici un autre des
"petits problèmes inattendus" : 2 puissance 29 est un nombre à
neuf chiffres tous différents. Quel est le dixième chiffre, celui
qui manque ? sans faire le calcul, rien que par le raisonnement ?

Ça c'est encore plus facile. Réponse plus bas pour ne pas dévoiler
trop vite la réponse à ceux qui ne le veulent pas.




















































Modulo 9, 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16 = 7, 2^5 = 32 = 5,
2^6 = 64 = 1.

2^29 = 2^(6+6+6+6+5) = 2^6 × 2^6 × 2^6 × 2^6 × 2^5

Modulo 9, 2^29 = 1 × 1 × 1 × 1 × 5 = 5.

Or un nombre écrit avec tous les chiffres de 0 à 9 vaut 0 modulo 9.
S'il en manque juste un, c'est le 4 puisque 5 + 4 = 9 = 0 modulo 9.

Vérification (je promets de ne pas l'avoir fait avant de raisonner) :
2^29 = 536870912. Il ne manque en effet que le 4.

Cela dit, merci, ça me fait une puissance de 2 supplémentaire à
apprendre par cœur, sachant que je les connais déjà toutes de 2^0
à 2^20, plus 2^25 qui possède aussi une particularité remarquable.
D'ailleurs je vais aussi en faire une énigme.

[Olivier Miakinen]

Post by Pierre Hallet
Comme il y a quelques amateurs de maths ici, voici un autre des
"petits problèmes inattendus" : 2 puissance 29 est un nombre à
neuf chiffres tous différents. Quel est le dixième chiffre, celui
qui manque ? sans faire le calcul, rien que par le raisonnement ?

Continuons dans cette voie.

Le nombre 2^25 + 1 peut s'écrire sous la forme AACCBBAA, où les
chiffres A, B et C sont consécutifs (c'est-à-dire que B = A + 1
et C = B + 1).

Sans faire le calcul, combien vaut 2^25 ?

[Pierre Hallet]

Post by Olivier Miakinen
Le nombre 2^25 + 1 peut s'écrire sous la forme AACCBBAA,
où les chiffres A, B et C sont consécutifs (c'est-à-dire que
B = A + 1 et C = B + 1).
Sans faire le calcul, combien vaut 2^25 ?

Ben suffit de trouver A, avec le même principe que pour
2^29, et le reste suit. Ou bien j'ai mal compris la question.

Pierre Hallet

[Olivier Miakinen]

Post by Pierre Hallet

Post by Olivier Miakinen
Le nombre 2^25 + 1 peut s'écrire sous la forme AACCBBAA,
où les chiffres A, B et C sont consécutifs (c'est-à-dire que
B = A + 1 et C = B + 1).
Sans faire le calcul, combien vaut 2^25 ?

Ben suffit de trouver A, avec le même principe que pour
2^29, et le reste suit. Ou bien j'ai mal compris la question.

Je n'ai jamais prétendu que c'était difficile. ;-)

[Guitom]

Post by Pierre Hallet
Bonsoir,
Une énigmette pas de moi mais trouvée dans un numéro
récent d'une revue, et dont l'énoncé m'a tant ébloui que
je ne résiste pas à l'envie de vous en faire profiter...
Tout le monde (euh...) connaît la racine carrée de deux,
le plus ancien irrationnel connu, valant environ 1,414213...
avec une infinité de décimales sans périodicité. Je le note
ici V2 pour la commodité.
Soit le nombre 1 + V2 (donc 2,414213...), et élevons-le à la
puissance 1000 (oui, mille) : (1 + V2)^1000. Le résultat est
un nombre énorme avec plusieurs centaines de chiffres
devant la virgule et une infinité de chiffres derrière.
Et justement : quel est le 200e chiffre après la virgule ?
SANS MACHINE ! JUSTE PAPIER ET CRAYON, ET ENCORE !
RÉPONSE EN 2 MINUTES EN CAS DE BONNE INSPIRATION !

De ma première réflexion tout à l'heure, rien ne m'est venu.

Post by Pierre Hallet
La solution, et c'est ce qui est si fascinant, tient en un
bref raisonnement de quelques lignes, accessible à tous
ceux qui ont gardé un souvenir même vague des cours
de maths du lycée.

Cours de maths trop lointains et peut-être y ai-je manqué d'écoute et de
sérieux. :-/

En tout cas, je compte faire un effort : cette énigme est belle (merci)!

Et donc je refuse de lire la suite de la discussion pour le moment.